Senin, 02 November 2009

Segitiga PASCAL

Seorang ilmuwan Perancis menemukan pola bilangan yang disusun menurut pola bangun segitiga, dimana bilangan-bilangan penyusunnya diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan di atasnya. Misalnya 2=1+1, 3=1+2, 6=3+3, 10=4+6, dan seterusnya. 
Perhatikan pola barisan bilangan di bawah ini!


1
1  1
1   2  1
1   3   3   1
1   4    6    4    1
1   5   10   10   5   1
1   6    15   20   15    6   1
1   7   21   35   35   21    7    1
1   8   28   56   70   56   28    8   1



Perhatikan bilangan-bilangan pada setiap baris pola bilangan segitiga Pascal.
Baris ke-1 = 1
Baris ke-2 = 1  1
Baris ke-3 = 1  2  1
Baris ke-4 = 1  3  3  1, dan seterusnya

Bilangan-bilangan pada setiap baris adalah menunjukkan koefisien dari penyederhanaan bentuk (a + b)n.
Dengan menjabarkan (a + b)n  maka akan nampak koefisien-koefisien (a + b)sama dengan bilangan-bilangan pada setiap baris segitiga Pascal.


Perhatikan penyederhanaan di bawah ini!
1. (a + b)1 = a + b =   -----> koefisiennya 1 dan 1
2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  ----->  koefisiennya 1, 2, dan 1
3. (a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
                 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
                 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3  -----> koefisiennya 1, 3, 3, dan 1


Apakah anda dapat melihat suatu pola dalam ketiga contoh di atas?
Selain memiliki koefisien yang berpola segitiga Pascal, juga memiliki variabel yang berpangkat secara naik atau turun. Diskusikan dengan temanmu.

Jadi untuk selanjutnya kita dapat mengerjakan perpangkatan bentuk aljabar (a + b) dengan menggunakan sifat tersebut.
Contoh berikut kita akan menyederhanakan (3x + 5y)4
Karena pada pembahasan di atas kita gunakan bentuk (a + b)n maka bisa kita misalkan 3x = a dan 5y = b.
Bentuk aljabar itu berpangkat 4, maka koefisiennya pasti 1, 4, 6, 4 dan 1.
(3x + 5y)4 = (3x)4 + 4(3x)3(5y) + 6(3x)2(5y)2 + 4(3x)(5y)3 + (5y)4
                 = 81 x4 + 540 x3y + 1350 x2y2 + 1500 x y3 + 625 y4


Sekarang, coba jabarkan dan sederhanakan bentuk : (2x + 3y)3


Sumber : Matematika Bilingual SMP Kelas VII, Cucun Cunayah dkk
    Blaise Pascal lahir pada tanggal 19 Juni 1623 di Clermont-Ferrand, Perancis.[1] Blaise sejak kecil dikenal sebagai seorang anak yang cerdas walaupun ia tidak menempuh pendidikan di sekolah secara resmi.[1] Di usia 12 tahun, ia sudah bisa menciptakan sebuah mesin penghitung untuk membantu pekerjaan ayahnya.[2] Nama ayahnya adalah √Čtienne Pascal.[3] Ayahnya adalah seorang petugas penarik pajak yang bekerja di wilayah Auvergne, Perancis.[1] Sejak usia empat tahun Blaise telah kehilangan ibunya.[3] Karya-karyanya terus bertambah mulai dari merancang bangunan segienam (hexagram), menemukan prinsip kerja barometer, sistem kerja arloji, hingga ikut terlibat dalam pembuatan sistem transportasi bawah tanah kota Paris.[2]Awalnya Paskal tidak berminat pada hal-hal yang berhubungan dengan agama.[2] Ia kemudian mengalami peristiwa pertobatan pada usia 23 tahun.[2] Sejak peristiwa itu, Paskal kemudian mengubah pola hidupnya dengan tekun berdoa dan berpuasa.[2] Tidak hanya itu, ia bahkan ikut bergabung dengan komunitas biara Port-Royal yang beraliran Jansenisme.[2] Saudara perempuannya yang bernama Jacqualine adalah seorang biarawati di biara itu.[2] Paskal pernah menyatakan kritiknya terhadap Ordo Yesuit melalui tulisan-tulisannya yang terkenal,Lettres provinciales yang ditulisnya tahun 1656.[4][1] Menurutnya, ajaran-ajaran Yesuit telah merendahkan nilai-nilai agama terutama tentang anugerah.[3] Kelompok Yesuit juga dinilai terlalu longgar dalam hal moral dan akibatnya kekristenan menjadi duniawi.[1] Ia meninggal dunia pada tanggal 9 Agustus 1662 dalam usia 39 tahun tanpa penyebab kematian yang jelas.[2]

    Sumber : Wikipedia

    2 komentar: